这一发现为拓扑材料的研究提供了全新的视角，进一步拓展了对高阶拓扑绝缘体的理解。相关成果发表于《国家科学评论》（

　　传统拓扑绝缘体的研究大多基于环面结构的布里渊区，而研究团队通过引入Z2规范场和棋盘格π磁通配置，将模型的布里渊区重构为布里渊实投影流形（图1a）。在该流形中，布里渊区的对向面以半扭转的方式粘合，从而形成独特的动量空间非对称（k-NS）对称性，即在传统镜面反射操作的基础上引入了半个周期的平移。在k-NS对称性的作用下，形成一个约化布里渊区（图1b中的reduced BZ区域），其大小为原始布里渊区的八分之一，但仍保留了所有拓扑信息。因此可以在这个约化布里渊区中有效计算拓扑不变量，刻画模型的拓扑性质。

　　图1. (a)实投影布里渊流形示意图，通过半扭转方式连接对向面；(b)实投影布里渊流形的k-NS对称性，其中相同颜色的块代表包含布里渊区相同的拓扑信息。

　　研究团队基于布里渊实投影流形的对称性特征，构建了包含8个格点的三维晶格单元模型，通过交错正负跃迁振幅形成棋盘格磁通配置（图2a）。理论计算表明，当胞内/间耦合强度比η=γ/λ1时，体系呈现拓扑非平庸的特征，在三维晶格角落产生零能束缚态，拓扑不变量为0.5；反之，则属于拓扑平庸相，拓扑不变量为0（图2b）。

　　图2.(a)实投影三维高阶拓扑绝缘体的紧束缚模型；(b)由约化布里渊区定义的拓扑不变量。

　　此外，通过调节三个方向上的胞内/间耦合强度比值，研究团队计算了不同边界条件下的能带结构，首次在三维体系中同时观测到：

　　内禀的对称保护拓扑相（SPTPs）：由体态能隙闭合引发，具有边界无关的鲁棒性；

　　外延的表面阻碍拓扑相（SOTPs）：依赖边界终止方式，通过调节耦合强度可实现表面态能隙开闭的动态转换。

　　为了完整刻画该高阶拓扑绝缘体的拓扑性质，研究团队绘制了边界极化(Pxy,Pyz,Pxz)的相图（图3），通过数值计算模型的万尼尔值和边界极化，验证了其同时具有内禀和外延的特性。

　　为了验证和观测该高阶拓扑绝缘体的八极矩拓扑角态，团队设计了一个2.5×2.5×2.5单元的三维拓扑电路（图5），使用电抗符号相反的电容和电感模拟正负跃迁，利用电路节点的阻抗表征体系的本征态。

　　实验测量结果显示，在2.77MHz谐振频率处捕获到了局域在角落的阻抗峰值，成功证实了八极矩拓扑相的存在，且实测峰值与理论计算结果高度吻合（图6）。

　　图6.(a)理论计算结果：阻抗谱（上）及谐振频率处阻抗分布（下）；(b)实测结果：阻抗谱（上）及谐振频率处阻抗分布（下）。

　　该工作为布里渊实投影空间中的能带理论提供了全新的视角，同时为拓扑材料及其在电路领域的理论探索和实际应用开辟了新的机会。

　　论文第一作者为东南大学毫米波全国重点实验室博士生邱思畅，上海理工大学胡金兵为共同第一作者。通讯作者为中国科学院尚策研究员、东南大学毫米波全国重点实验室刘硕教授和崔铁军院士。该研究得到了国家重点研发计划、国家自然科学基金、上海市自然科学基金等项目的支持。